Sistemas de numeración

Sistemas de numeración

    Recuerdan cuando eran niños (no sé si esto aun apliqué pero los que crecimos en los 90s e inicios de los 2000) llevábamos un abaco a la primaria Fig1. 

    Esto nos permitió comprender como funcionan los sistemas de numeración posicional de forma inconsciente, para nuestro caso especial el sistema de numeración decimal.

    Y ¿cómo funciona el ábaco? Pues en la varilla izquierda pones una cuenta y sabes que es la representación de las unidades. 

    La siguiente representa la decenas, la tercera la centenas y así sucesivamente.

Ese es el principio básico de cualquier sistema de numeración. Intentare explicarlo de una forma más general.

Primero tenemos un conjunto de símbolos que nos tendrán un valor intrínseco, estos serán lo números o dígitos. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (en el sistema decimal).
De izquierda a derecha tendrán un valor dependiendo de su posición.
 

B^n	B^(n-1)	...	B^3	B^2	B^1	B^0	B:Base del sistema, decimal para el ejemplo
10^n	10^(n-1)	...	10^3	10^2	10^1	10^0

Para tomar un ejemplo, tomamos el número 3785, este no es otra cosa que la suma de sus componentes:
3x10^{3} + 7x10^{2} + 8x10^{1}+5x10^{0}=3*1000+ 7*100 + 8*10 + 5*1= 3000+700+80+5=3785

El mismo concepto aplica para cualquier sistema de numeración. 

    En el mundo de la informática se utiliza el sistema binario de numeración para realizar operaciones es más práctico realizar operaciones de bits que codificar el sistema decimal desarrollando hardware que pueda soportarlo.

 Sistema de numeración binario.

    Dado que las computadoras utilizan transistores para realizar operaciones, la forma de codificar esto es utilizando el sistema binario de numeración.  

2^n	2^(n-1)	...	2^3	2^2	2^1	2^0
2^n	2^(n-1)	...	8	4	2	1

Siguiendo las reglas de un sistema de numeración, al utilizar solo dos valores posibles, se necesitan solo 2 dígitos para representar cualquier valor. En este caso el 0 y 1.

Así que se puede realizar la conversión a decimal fácilmente siguiendo la siguiente tabla:

Binario	Desarrollo de exponentes	Sumatoria decimal	Valor Decimal
0000	0x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 0x2⁰	0 + 0 + 0 +0	00
0001	0x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 0x2⁰	0 + 0 + 0 + 1	01
0010	0x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 0x2⁰	0 + 0 + 2 + 0	02
0011	0x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 1x2⁰	0 + 0 + 2 + 1	03
0100	0x2³ + 1x2² + 0x2¹ + 0x2⁰	0 + 4 + 0 + 0	04
0101	0x2³ + 1x2² + 0x2¹ + 1x2⁰	0 + 4 + 0 + 1	05
0110	0x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 0x2⁰	0 + 4 + 2 + 0	06
0111	0x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x2⁰	0 + 4 + 2 + 1	07
1000	1x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 0x2⁰	8 + 0 + 0 + 0	08
1001	1x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 1x2⁰	8 + 0 + 0 + 1	09
1010	1x2³ + 0x2² + 1x2¹ +0x2⁰	8 + 0 + 2 + 0	10
1011	1x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 1x2⁰	8 + 0 + 2 + 1	11
1100	1x2³ + 1x2² + 0x2¹ + 0x2⁰	8 + 4 + 0 + 0	12
1101	1x2³ + 1x2² + 0x2¹ + 1x2⁰	8 + 4 + 0 + 1	13
1110	1x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 0x2⁰	8 + 4 + 2 + 0	14
1111	1x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x2⁰	8 + 4 + 2 + 1	15

Algo que seguramente se habrá notado es que aunque se necesitan más posiciones, el sistema es muy simple debido a que solamente dos dígitos son suficientes para representar el conjunto de los números enteros.

    Siguiendo las reglas de los sistemas de numeración es posible representar valores en cualquier base. Al trabajar con sistemas informáticos, debido a la manera en que utilizamos los semiconductores para el control de la corriente eléctrica (Tema que se verá posteriormente), lo más fácil es utilizar el sistema binario, que además es fácilmente codificable en sistema octal y hexadecimal. Cabe aclarar que el sistema octal actualmente es poco utilizado en aplicación, aunque comprenderlo facilita las cosas cuando estamos aprendiendo. 

Para esto vamos a definir algunos conceptos: 

Bit: Es la unidad mínima de información, en una computadora el espacio donde solo puede haber 0 ó 1.

Byte: Es la agrupación de 8 bits, en las arquitecturas de microprocesador más simple es el tamaño que tiene un registro (tener esto en cuenta para futuros temas).

Nibble:  La agrupación de 4 bits, también conocido como octeto o medio byte.

Sistema de numeración octal: Este sistema de numeración tiene de base el número 8, es decir del 0 al 7. 

Sistema de numeración hexadecimal: este sistema de numeración tiene como base el número 16, utilizando los dígitos decimales del 0 al 9 y completándolos con las letras A, B, C, D, E, F.

En la siguiente tabla se puede ver la equivalencia de algunos valores en estos sistemas.

Binario	Octal	Hexadecimal	Valor Decimal
0000	00	00	00
0001	01	01	01
0010	02	02	02
0011	03	03	03
0100	04	04	04
0101	05	05	05
0110	06	06	06
0111	07	07	07
1000	10	08	08
1001	11	09	09
1010	12	0A	10
1011	13	0B	11
1100	14	0C	12
1101	15	0D	13
1110	16	0E	14
1111	17	0F	15
00001 0000	20	10	16

Existe una correlación entre los sistemas binario, octal y hexadecimal, dado que la base 8 y 16 en su respectivo sistema es una potencia del número 2. 

Para convertir de binario a octal solo agrupamos los bits de derecha a izquierda de 3 en 3 y simplemente se acomodan las cifras. Ejemplos:

Decimal	Binario	Agrupando	Octal
28	11100	011,100	38
147	10010011	010,010,011	223
465	111010001	111,010,001	721

En el caso del hexadecimal, se aplica la misma regla, el único cambio es agrupar en 4 posiciones de izquierda a derecha (un nibble) los dígitos binarios. Algunos ejemplos en la siguiente tabla:

Decimal	Binario	Agrupando	Hexadecimal
19	10011	1,0011	17
219	11011011	1101,1011	DB
465	111010001	1,1101,0001	1D1

Por lo general, la arquitectura de los registros de los procesadores, microprocesadores ó microcontroladores es de 8 bits, 16 bits o 64 bits. Esto toma relevancia dado que el sistema hexadecimal se vuelve hasta una forma natural de realizar las operaciones en los distintos dispositivos. 

En lecciones posteriores se intentarán hacer proyectos en arquitecturas de 8 y 32 bits. 

 

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